Sistem persamaan linear - Aljabar Materi Matematika Kelas 10

Dalam dunia matematika, sistem persamaan linear (SPL) merupakan salah satu topik fundamental yang menjadi dasar bagi banyak cabang ilmu, baik itu aljabar, geometri, kalkulus, maupun aplikasi terapan seperti ekonomi, teknik, komputer, dan ilmu sosial. SPL berkaitan dengan sekumpulan persamaan yang semuanya berbentuk linear, yaitu persamaan dengan variabel yang pangkatnya tidak lebih dari satu.

Misalnya, persamaan sederhana seperti:

merupakan contoh persamaan linear dua variabel. Jika dikombinasikan dengan persamaan linear lainnya, kita membentuk suatu sistem yang harus diselesaikan secara bersamaan.

Artikel ini akan membahas secara menyeluruh: mulai dari definisi, sifat-sifat, berbagai metode penyelesaian, hingga aplikasi nyata SPL dalam kehidupan sehari-hari.

Konsep Dasar Sistem Persamaan Linear

1. Definisi Persamaan Linear

Persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi satu. Bentuk umum persamaan linear dengan $n$ variabel adalah:

dengan syarat:

• $a_1, a_2, \dots, a_n$ adalah koefisien,

• $b$ adalah konstanta,

• $x_1, x_2, \dots, x_n$ adalah variabel.

2. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear (SPL) adalah sekumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki variabel sama dan harus diselesaikan secara bersamaan.

Contoh SPL dua variabel:

SPL dapat terdiri dari:

• SPLDV → Sistem Persamaan Linear Dua Variabel,

• SPLTV → Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel,

• SPLNV → Sistem Persamaan Linear dengan $n$ variabel.

3. Himpunan Penyelesaian SPL

Solusi SPL adalah nilai variabel-variabel yang membuat semua persamaan dalam sistem tersebut benar. Ada tiga kemungkinan penyelesaian:

1. Satu solusi unik (garis berpotongan di satu titik).

2. Tak hingga banyak solusi (garis saling berhimpit).

3. Tidak ada solusi (garis sejajar).

Kelebihan dan Kekurangan Metode SPL

Sejarah dan Perkembangan SPL

Konsep SPL sudah dikenal sejak zaman kuno. Peradaban Babilonia menggunakan metode tabel untuk menyelesaikan persamaan. Di Tiongkok, metode matriks sederhana digunakan dalam Jiuzhang Suanshu (The Nine Chapters on the Mathematical Art, abad ke-2 SM).

Dalam matematika modern, SPL berkembang pesat dengan hadirnya konsep aljabar linear. Matriks, determinan, dan vektor menjadikan SPL tidak hanya sebagai topik dasar, tetapi juga pondasi ilmu komputasi modern.

Sistem Persamaan Linear (SPL) merupakan konsep penting dalam matematika yang memiliki cakupan luas, baik secara teoritis maupun praktis. Dengan berbagai metode penyelesaian—dari substitusi hingga algoritma Gauss—SPL dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah nyata di bidang ekonomi, teknik, komputer, hingga kehidupan sehari-hari.

Pemahaman mendalam terhadap SPL tidak hanya melatih logika berpikir, tetapi juga membuka wawasan tentang bagaimana matematika menjadi bahasa universal dalam menjelaskan fenomena dunia nyata.